Теорема о существовании неявной функции

Пусть $F(\mathbf{x}, y)$ непрерывна в $O(\mathbf{x}^0, y^0)$, причем $F(\mathbf{x}^0, y^0) = 0$. Если $F'_y(\mathbf{x}, y)$ непрерывна в точке $\mathbf{x}^0, y^0$, и $$F'_y(\mathbf{x}^0, y^0) \neq 0,$$ то существуют $K = \left\{\mathbf{x} \mathpunct{:}~ |x_k - x_k^0| \leq \delta\right\}$ и $\varepsilon > 0$, что на прямоугольнике $K \times [y^0 - \varepsilon, y^0 + \varepsilon]$ определена неявная функция, то есть существует единственная $f(\mathbf{x})\mathpunct{:}$ $$F(\mathbf{x}, f(\mathbf{x})) = F(x_1, \dots, x_m, f(x_1, \dots, x_m)) = 0, \quad \forall{\mathbf{x} \in K},$$ при этом $f(\mathbf{x})$ непрерывна. Если дополнительно $F(\mathbf{x}, y)$ дифференцируема в точке $(\mathbf{x}^0, y^0)$, то $f$ дифференцируема в $\mathbf{x}^0$ и $$f'_{x_k}(\mathbf{x}^0) = -\frac{F'_{x_k}(\mathbf{x}^0, y^0)}{F'_y(\mathbf{x}^0, y^0)}.$$

Так как $F'_y(\mathbf{x}^0, y^0) \neq 0$, то Б.О.О. $F'_y(\mathbf{x}^0, y^0) > 0$. Тогда для достаточно малого $\varepsilon$: $F(\mathbf{x}^0, y^0 + \varepsilon) > 0$, $F(\mathbf{x}^0, y^0 - \varepsilon) < 0$. По теореме об отделимости от нуля: $$\exists{O(\mathbf{x}^0, y^0 + \varepsilon)}\mathpunct{:}~~ \forall{(\mathbf{x}, y) \in O(\mathbf{x}^0, y^0 + \varepsilon)}, F(\mathbf{x}, y) > 0$$ $$\exists{O(\mathbf{x}^0, y^0 - \varepsilon)}\mathpunct{:}~~ \forall{(\mathbf{x}, y) \in O(\mathbf{x}^0, y^0 - \varepsilon)}, F(\mathbf{x}, y) < 0$$ Выберем $\delta$ настолько малым, чтобы для $K = \{\mathbf{x} \mathpunct{:}~ |x_k - x_k^0| \leq \delta\}$ неравенства $F(\mathbf{x}, y^0 + \varepsilon) > 0$, $F(\mathbf{x}, y^0 - \varepsilon) < 0$ выполнялись для всех $\mathbf{x} \in K$. Рассмотрим $\forall{\mathbf{x}^* \in K}$. По построению: $F(\mathbf{x}^*, y^0 + \varepsilon) > 0$, $F(\mathbf{x}^*, y^0 - \varepsilon) < 0$ Значит по теореме о промежуточном значении: $$\exists{y^* \in [y^0 - \varepsilon, y^0 + \varepsilon]} \mathpunct{:}~ F(\mathbf{x}^*, y^*) = 0$$ А из $F'_y(\mathbf{x}^0, y^0) > 0$ и непрерывности $F'_y$ такая точка единственна. Значит мы установили однозначное соответствие, нашли искомую неявную функцию. Непрерывность следует из построения. Если $F(\mathbf{x}, y)$ дифференцируема, то по формуле Тейлора (при $n = 1$): $$0 = F(x_1^0 + \Delta x_1, \dots, x_m^0, y^0 + \Delta y) - F(x_1^0, \dots, x_m^0, y^0) =$$ $$F'_{x_1}(x_1^0 + \theta \Delta x_1, \dots, x_m^0, y^0 + \theta \Delta y)\Delta x_1 + F'_y(x_1^0 + \theta \Delta x_1, \dots, x_m^0, y^0 + \theta \Delta y)\Delta y.$$ Отсюда: $$f'_{x_k} = \lim\limits_{\Delta x_k \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x_k} = \lim\limits_{\Delta x_k \to 0} -\frac{F'_{x_k}(x_1^0 + \theta \Delta x_1, \dots, y^0 + \theta \Delta y)}{F'_y(x_1^0 + \theta \Delta x_1, \dots, y^0 + \theta \Delta y)} = -\frac{F'_{x_k}(\mathbf{x}^0, y^0)}{F'_y(\mathbf{x}^0, y^0)}.$$ $\square$